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Q. e. d. – Die Klasse 9c auf den Spuren der besten Beweise zur Satzgruppe des Pythagoras

Jeder kennt ihn:

 

Der Satz des Pythagoras ist Schülern auch Jahre nach ihrer Schulkarriere noch ein Begriff. Um mathematisch korrekt zu sein, lautet er vollständig:

In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Es gilt: a2 + b2 = c2


Doch, dass es zu diesem mathematischen Satz über 100 verschiedene Beweise gibt, wissen selbst in ihrer Schulzeit nur wenige Schüler.
Die Schülerinnen und Schüler der Klasse 9c machten sich nun auf, einen kleinen Teil dieser Beweise zu erforschen und für sich neu zu entdecken. Sie trafen bei diesem Streifzug auf mathematische Persönlichkeiten der Antike wie Pythagoras selbst oder Euklid. Aber auch Albert Einstein und sogar ein amerikanischer Präsident (20. Präsident der USA: James Abram Garfield (1831-1881) trugen zur Sammlung der Beweise des Satzes des Pythagoras bei.
In kleinen Gruppen erforschten die Schülerinnen und Schüler die Besonderheiten der einzelnen Beweise und stellten diese auf Plakaten anschaulich dar. Schließlich konnten die Schülerinnen und Schüler sich gegenseitig ihre Errungenschaften vorstellen und erklären.


 

 

Anhand dieser Beweise wurde der grundsätzliche Aufbau von Beweisen erforscht und im Anschluss die etwas unbekannteren Sätze am rechtwinkligen Dreieck (Höhensatz und Kathetensatz des Euklid) hergeleitet. Hierbei konnten die schon erlernten Techniken eingesetzt und vertieft werden.

Der anspruchsvolle aber auch sehr hilfreiche Widerspruchsbeweis war beim Beweis der Umkehrung des Satzes des Pythagoras sehr hilfreich. Diese abstrakte Herleitung brachte die Schüler an den Rand ihres Vorstellungsvermögens, doch der eine oder andere Schüler konnte sich dem Zauber dieses Beweises nicht entziehen. Anhand Pythagoräischer Tripel

(beispielsweise 3, 4, 5: 32 + 42 = 52)

erfuhren die Schüler von Problemstellungen in der Mathematik

(wie z.B. die Fermatschen Vermutung: Die Gleichung an + bn = cn besitzt für ganzzahlige a, b, c ≠ 0 und natürliche Zahlen n>2 keine Lösung.),

die 400 Jahre lang die größten Mathematiker beschäftigten und erst in den letzten Jahren gelöst werden konnten.
Zum Abschluss sammelten die Schülerinnen und Schüler die Sätze und Beweise der Satzgruppe auf Stickern und klebten sich diese in eine Art „Panini-Sammelheft“, wie man es eigentlich für Fußballbilder kennt. In diesem Heft können sie nun jederzeit die Sätze und Beweise der Satzgruppe des Pythagoras nachschlagen.

 

Klasse 9c

 

Helmut Krechel
(Quod erat demonstrandum)